ประพจน์
หมายถึง ประโยคหรือข้อความที่ใช้สำหรับบอกค่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง ส่วนประโยคที่ไม่สามารถบอกกค่าความจริงหรือเป็นเท็จได้จะไม่เรียกว่าประพจน์
ตัวอย่างประโยคหรือข้อความที่เป็นประพจน์ เช่น
- ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก
- สุนัขมี 4 ขา
- เดือนมกราคมมี 30 วัน
ตัวอย่างประโยคหรือข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ เช่น
- ห้ามเดินลัดสนาม
- เธอกำลังจะไปหน
- Y + 5 = 8
ประโยคเปิด
คือ ประโยคหรือข้อความที่ทีค่าตัวแปรอยู่ในประโยค และยังไม่สามารถทราบค่าความจริง ถ้าทำการแทนค่าตัวแปรนั้นด้วยค่าบางอย่าง จะทำให้ประโยคหรือข้อความนั้นมีค่าออกมาเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ตัวอย่าง เช่น
- เขาเป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย ถ้าแทนเขาด้วยชื่อของนักฟุตบอลทีมชาติ
ไทย ประโยคนี่จะมีค่าเป็นจริง ถ้าแทนเขาด้วยชื่ออื่นที่ไม่ใช่ชื่อของนักฟุตบอลทีมชาติไทย ประโยคนี้จะมีค่าเป็นเท็จ
- Y + 5 = 8 ถ้าแทนค่าของ Y ด้วย 3 ประโยคนี้จะมีค่าออกมาเป็นจริง ถ้า
แทนค่าของ Y ด้วยตัวเลขอื่น ประโยคนี้จะมีค่าออกมาเป็นเท็จ
ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์
ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ใช้สำหรับกรณีที่ต้องการเชื่อมประพจน์มากกว่า 1 ประพจน์เข้าด้วยกัน เรียกว่า ประพจน์เชิงประกอบ ส่วนประพจน์ที่ไม่มีตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ เรียกว่าประพจน์เดี่ยว สัญลักษณ์ที่ใช้เป็นตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์มีดังนี้
| ตัวเชื่อทางตรรกศาสตร์ | สัญลักษณ์ |
| และ | ∧ |
| หรือ | ⋁ |
| ถ้า…แล้ว | → |
| ก็ต่อเมื่อ | |
| ไม่ | ~ |
ค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบ
ผลลัพธ์ที่ได้ประพจน์เชิงประกอบที่ใช้ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์แต่ละชนิด จะมีผลลัพธ์ที่ต่างกันออกไป
ประพจน์ที่ประกอบด้วยหลายตัวเชื่อทางตรรกศาสตร์
การหาความจริงของประพจน์ที่ประกอบด้วยหลายตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ สามารถทำได้โดยใช้ตารางค่าความจริง การบอกลำดับของการกระทำระหว่างประพจน์จะใช้วงเล็บในการบอกลำดับการทำงาน ถ้ามีนิเสธ ให้ทำในส่วนของนิเสธของประพจน์เป็นอันดับแรก ตัวอย่างของการหาค่าความจริงของประพจน์ที่ประกอบด้วยหลายตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนตารางค่าความจริงของ ~Q^R
จากตัวอย่างประพจน์นี้ปรกอบด้วย 2 ประพจน์ย่อย ดังนี้ ค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้มีทั้งหมด 4 กรณี สามารถเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ ดังนี้
| Q | R | ~Q | ~Q^R |
| F | F | T | F |
| F | T | T | T |
| T | F | F | F |
| T | T | F | F |
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนตารางค่าความจริงของ (~Q^R) v (R^~S)
จากตัวอย่างประพจน์นี้ปรกอบด้วย 3 ประพจน์ย่อย คือ Q,R และ S ดังนั้นค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้มีทั้งหมด 23 = 8 กรณี สามารถเขียนเป็นตารางความจริงได้ ดังนี้
| Q | R | S | ~R | Q^~S | ~S | R^~S | (A^~R) v (R^~S) |
| F | F | F | T | F | T | F | F |
| F | F | T | T | F | F | F | F |
| F | T | F | F | F | T | T | T |
| F | T | T | F | F | F | F | F |
| T | F | F | T | T | T | F | T |
| T | F | T | T | T | F | F | T |
| T | T | F | F | F | T | T | T |
| T | T | T | F | F | F | F | F |
ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนตารางค่าความจริงของ (~Q^R)<–>(Q^R)
จากตัวอย่างประพจน์นี้ปรกอบด้วย 2 ประพจน์ย่อย ดังนี้ ค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้มีทั้งหมด 4 กรณี สามารถเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ ดังนี้
| Q | R | ~Q | ~Q v R | Q^R | (~QvR)<–>(Q^R) |
| F | F | T | T | F | F |
| F | T | T | T | F | F |
| T | F | F | F | F | T |
| T | T | F | T | T | T |
เชิงประกอบที่ประกอบด้วยประพจน์ย่อย 2 ประพจน์ กรณีที่สามารถเป็นไปได้ คือ 4กรณี โดยที่ทุกกรณีจะให้ค่าความจริงออกมาเป็นจริงทั้งหมด
ตัวอย่างที่ 1 จงทำการตรวจสอบว่าประพจน์ P–>(QvP) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
| Q | P | QvP | P–>(QvP) |
| F | F | F | T |
| F | T | T | T |
| T | F | T | T |
| T | T | T | T |
ประพจน์ P –>(QvP) เป็นสัจนิรันดร์
ตัวอย่างที่ 2 จงทำการตรวจสอบว่าประพจน์ (P–>(QvR))v(Q<–>(P^R)) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
| P | Q | R | QvR | P–>(QvR) | P^R | (Q<–>(P^R) | (P–>(QvR))v(Q<–>(P^R)) |
| F | F | F | F | T | F | T | T |
| F | F | T | T | T | F | T | T |
| F | T | F | T | T | F | F | T |
| F | T | T | T | T | F | F | T |
| T | F | T | F | F | F | T | T |
| T | F | F | T | T | T | F | T |
| T | T | T | T | T | F | F | T |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| ประพจน์ (P–>(QvR))v(Q<–>(P^R)) เป็นสัจนิรันดร์ | |||||||
ประพจน์ที่สมมูลกัลป์
ประพจน์สองประพจน์มีความสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อประพจน์ทั้งสองประกอบด้วยประพจน์ย่อยที่เหมือนกันและให้ค่าความ จริงออกมาเหมือนกันในทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ แทนการสมมูลกัน
ตัวอย่างที่ 1 จงทำการตรวจสอบว่าประพจน์ P–>Q และ ~Q–>~P เป็นประพจน์ที่สมมูลกันหรือไม่
| P | Q | P–>Q | ~P | ~Q | ~Q–>~P |
| F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | F | T |
| T | F | F | F | T | F |
| T | T | T | F | F | T |
| P–>Q และ ~Q–>~P เป็นประพจน์ที่สมมูลกัน | |||||
| หรือเขียนได้ว่า P–>Q ~Q–>~P | |||||
ตัวอย่างที่ 2 จงทำการตรวจสอบว่าประพจน ์(P–>(QvR))v(Q<–>(P^R)) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
| P | Q | P–>Q | ~(P–>Q) | ~Q | P^~Q |
| F | F | T | F | T | F |
| F | T | T | F | F | F |
| T | F | F | T | T | T |
| T | T | T | F | F | F |
| ประพจน์ ~(P–>Q) และ P^~Q เป็นประพจน์ที่สมมูลกัน | |||||
| หรือเขียนได้ว่า ~(P–>Q) P^~Q | |||||
แบบฝึกหัด
1.ข้อใดคือความหมายของประพจน์ ที่ถูกต้องที่สุด
ก. ประโยคหรือข้อความที่ใช้สำหรับบอกความเป็นจริง
ข. ประโยคหรือข้อความที่ใช้สำหรับบอกความเป็นเท็จ
ค. ประโยคหรือข้อความที่ใช้สำหรับบอกความเป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง
ง. ประโยคหรือข้อความที่ไม่สามารถบอกค่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จได้
2.ประโยคข้อใดคือประพจน์
ก. X + y = z
ข. ขอนแก่นคือเมืองหลวงของประเทศไทย
ค. เธอกินข้าวแล้วหรือยัง
ง. ไม่ควรใช้โทรศัพท์มือถือใกล้อุปกรณ์ตรวจวัดทางการแพทย์
3.ประพจน์ที่ประกอบด้วยประพจน์เดี่ยวหลายประพจน์ เรียกประพจน์นั้นว่า
ก. ประพจน์รวม
ข. ประพจน์เชิงประกอบ
ค. ประพจน์เชื่อม
ง. ประพจน์ตรรกศาสตร์
4.ค่าความจริงที่เกิดจาก P ^ Q จะเป็นจริงเมื่อใด
ก. P เป็นจริง, Q เป็นเท็จ
ข. P เป็นเท็จ, Q เป็นจริง
ค. P เป็นจริง, Q เป็นจริง
ง. P เป็นเท็จ, Q เป็นเท็จ
5.ประโยคในข้อใดคือประโยคเปิด
ก. 3 + 5 = 10
ข. y = 10 + 20
ค. ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก
ง. วันสิ้นปีคือวันที่ 31 ธันวาคม
6.ถ้าใช้ประพจน์ P แทนสุนัข 4 ขา และใช้ประพจน์ Q แทนนกเป็นสัตว์ปีก การเขียนสัญลักษณ์แทนว่า “สุนัขมี 4 ขา และนกเป็นสัตว์ปีก” สามารถเขียนได้ดังข้อใด
ก. P ⋀ Q
ข. P ⋁ Q
ค. P → Q
ง. P ↔ Q
7.ถ้าใช้ประพจน์ P แทนสุนัข 4 ขา และใช้ประพจน์ Q แทนนกเป็นสัตว์ปีก การเขียนสัญลักษณ์แทนว่า “สุนัขมี 4 ขา แล้วนกเป็นสัตว์ปีก” สามารถเขียนได้ดังข้อใด
ก. P ⋀ Q
ข. P ⋁ Q
ค. P → Q
ง. P ↔ Q
8.ถ้าใช้ประพจน์ P แทนสุนัข 4 ขา และใช้ประพจน์ Q แทนนกเป็นสัตว์ปีก การเขียนสัญลักษณ์แทนว่า “สุนัขมี 4 ขา ก็ต่อเมื่อนกเป็นสัตว์ปีก” สามารถเขียนได้ดังข้อใด
ก. P ⋀ Q
ข. P ⋁ Q
ค. P → Q
ง. P ↔ Q
9.ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ในข้อใดที่ใช้กับประพจน์เพียงประพจน์เดียว
ก. และ
ข. หรือ
ค. ก็ต่อเมื่อ
ง. ไม่
10.ประพจน์เชิงประกอบที่ประกอบด้วยประพจน์เดี่ยวจำนวน 3 ประพจน์ ค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้จะมีค่าเท่ากับข้อใด
ก. 3
ข. 4
ค. 6
ง. 8
เฉลย
- ค.
- ข.
- ข.
- ค.
- ข.
- ก.
- ค.
- ง.
- ง.
- ง.
cheerdeksin 