ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ประพจน์

หมายถึง ประโยคหรือข้อความที่ใช้สำหรับบอกค่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง ส่วนประโยคที่ไม่สามารถบอกกค่าความจริงหรือเป็นเท็จได้จะไม่เรียกว่าประพจน์

ตัวอย่างประโยคหรือข้อความที่เป็นประพจน์ เช่น

  • ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก
  • สุนัขมี 4 ขา
  • เดือนมกราคมมี 30 วัน

ตัวอย่างประโยคหรือข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ เช่น

  • ห้ามเดินลัดสนาม
  • เธอกำลังจะไปหน
  • Y + 5 = 8

ประโยคเปิด

คือ ประโยคหรือข้อความที่ทีค่าตัวแปรอยู่ในประโยค และยังไม่สามารถทราบค่าความจริง ถ้าทำการแทนค่าตัวแปรนั้นด้วยค่าบางอย่าง จะทำให้ประโยคหรือข้อความนั้นมีค่าออกมาเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ตัวอย่าง เช่น

  • เขาเป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย ถ้าแทนเขาด้วยชื่อของนักฟุตบอลทีมชาติ

ไทย ประโยคนี่จะมีค่าเป็นจริง ถ้าแทนเขาด้วยชื่ออื่นที่ไม่ใช่ชื่อของนักฟุตบอลทีมชาติไทย ประโยคนี้จะมีค่าเป็นเท็จ

  • Y + 5 = 8 ถ้าแทนค่าของ Y ด้วย 3 ประโยคนี้จะมีค่าออกมาเป็นจริง ถ้า

แทนค่าของ Y  ด้วยตัวเลขอื่น ประโยคนี้จะมีค่าออกมาเป็นเท็จ

ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์

ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ใช้สำหรับกรณีที่ต้องการเชื่อมประพจน์มากกว่า 1 ประพจน์เข้าด้วยกัน เรียกว่า ประพจน์เชิงประกอบ ส่วนประพจน์ที่ไม่มีตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ เรียกว่าประพจน์เดี่ยว สัญลักษณ์ที่ใช้เป็นตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์มีดังนี้

ตัวเชื่อทางตรรกศาสตร์ สัญลักษณ์
และ
หรือ
ถ้า…แล้ว
ก็ต่อเมื่อ
ไม่ ~

ค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบ

ผลลัพธ์ที่ได้ประพจน์เชิงประกอบที่ใช้ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์แต่ละชนิด จะมีผลลัพธ์ที่ต่างกันออกไป

ประพจน์ที่ประกอบด้วยหลายตัวเชื่อทางตรรกศาสตร์           

การหาความจริงของประพจน์ที่ประกอบด้วยหลายตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์  สามารถทำได้โดยใช้ตารางค่าความจริง  การบอกลำดับของการกระทำระหว่างประพจน์จะใช้วงเล็บในการบอกลำดับการทำงาน  ถ้ามีนิเสธ  ให้ทำในส่วนของนิเสธของประพจน์เป็นอันดับแรก ตัวอย่างของการหาค่าความจริงของประพจน์ที่ประกอบด้วยหลายตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์

ตัวอย่างที่ 1   จงเขียนตารางค่าความจริงของ ~Q^R
จากตัวอย่างประพจน์นี้ปรกอบด้วย 2 ประพจน์ย่อย ดังนี้ ค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้มีทั้งหมด 4 กรณี สามารถเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ ดังนี้

Q R ~Q ~Q^R
F F T F
F T T T
T F F F
T T F F

 

ตัวอย่างที่ 2   จงเขียนตารางค่าความจริงของ (~Q^R) v (R^~S)
จากตัวอย่างประพจน์นี้ปรกอบด้วย 3 ประพจน์ย่อย คือ Q,R และ S ดังนั้นค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้มีทั้งหมด 23 = 8 กรณี สามารถเขียนเป็นตารางความจริงได้ ดังนี้

Q R S ~R Q^~S ~S R^~S (A^~R) v (R^~S)
F F F T F T F F
F F T T F F F F
F T F F F T T T
F T T F F F F F
T F F T T T F T
T F T T T F F T
T T F F F T T T
T T T F F F F F

 

 ตัวอย่างที่ 3   จงเขียนตารางค่าความจริงของ (~Q^R)<–>(Q^R)
จากตัวอย่างประพจน์นี้ปรกอบด้วย 2 ประพจน์ย่อย ดังนี้ ค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้มีทั้งหมด 4 กรณี สามารถเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ ดังนี้

Q R ~Q ~Q v R Q^R (~QvR)<–>(Q^R)
F F T T F F
F T T T F F
T F F F F T
T T F T T T

เชิงประกอบที่ประกอบด้วยประพจน์ย่อย 2 ประพจน์ กรณีที่สามารถเป็นไปได้ คือ 4กรณี โดยที่ทุกกรณีจะให้ค่าความจริงออกมาเป็นจริงทั้งหมด
          ตัวอย่างที่ 1  จงทำการตรวจสอบว่าประพจน์ P–>(QvP) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

Q P QvP P–>(QvP)
F F F T
F T T T
T F T T
T T T T

ประพจน์ P –>(QvP) เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่างที่ 2   จงทำการตรวจสอบว่าประพจน์ (P–>(QvR))v(Q<–>(P^R)) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

P Q R QvR P–>(QvR) P^R (Q<–>(P^R) (P–>(QvR))v(Q<–>(P^R))
F F F F T F T T
F F T T T F T T
F T F T T F F T
F T T T T F F T
T F T F F F T T
T F F T T T F T
T T T T T F F T
T T T T T T T T
ประพจน์ (P–>(QvR))v(Q<–>(P^R)) เป็นสัจนิรันดร์

ประพจน์ที่สมมูลกัลป์

ประพจน์สองประพจน์มีความสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อประพจน์ทั้งสองประกอบด้วยประพจน์ย่อยที่เหมือนกันและให้ค่าความ จริงออกมาเหมือนกันในทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ แทนการสมมูลกัน
ตัวอย่างที่ 1   จงทำการตรวจสอบว่าประพจน์ P–>Q และ ~Q–>~P เป็นประพจน์ที่สมมูลกันหรือไม่

P Q P–>Q ~P ~Q ~Q–>~P
F F T T T T
F T T T F T
T F F F T F
T T T F F T
P–>Q และ ~Q–>~P เป็นประพจน์ที่สมมูลกัน
หรือเขียนได้ว่า P–>Q ~Q–>~P

ตัวอย่างที่ 2   จงทำการตรวจสอบว่าประพจน ์(P–>(QvR))v(Q<–>(P^R)) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

P Q P–>Q ~(P–>Q) ~Q P^~Q
F F T F T F
F T T F F F
T F F T T T
T T T F F F
ประพจน์ ~(P–>Q) และ P^~Q เป็นประพจน์ที่สมมูลกัน
หรือเขียนได้ว่า ~(P–>Q) P^~Q

 

 

แบบฝึกหัด

1.ข้อใดคือความหมายของประพจน์ ที่ถูกต้องที่สุด

ก.      ประโยคหรือข้อความที่ใช้สำหรับบอกความเป็นจริง

ข.      ประโยคหรือข้อความที่ใช้สำหรับบอกความเป็นเท็จ

ค.      ประโยคหรือข้อความที่ใช้สำหรับบอกความเป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง

ง.       ประโยคหรือข้อความที่ไม่สามารถบอกค่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จได้

2.ประโยคข้อใดคือประพจน์

ก.      X + y = z

ข.      ขอนแก่นคือเมืองหลวงของประเทศไทย

ค.      เธอกินข้าวแล้วหรือยัง

ง.       ไม่ควรใช้โทรศัพท์มือถือใกล้อุปกรณ์ตรวจวัดทางการแพทย์

3.ประพจน์ที่ประกอบด้วยประพจน์เดี่ยวหลายประพจน์ เรียกประพจน์นั้นว่า

ก.      ประพจน์รวม

ข.      ประพจน์เชิงประกอบ

ค.      ประพจน์เชื่อม

ง.       ประพจน์ตรรกศาสตร์

4.ค่าความจริงที่เกิดจาก P ^ Q จะเป็นจริงเมื่อใด

ก.      P เป็นจริง, Q เป็นเท็จ

ข.      P เป็นเท็จ, Q เป็นจริง

ค.      P เป็นจริง, Q เป็นจริง

ง.       P เป็นเท็จ, Q เป็นเท็จ

5.ประโยคในข้อใดคือประโยคเปิด

ก.      3 + 5 = 10

ข.      y = 10 + 20

ค.      ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก

ง.       วันสิ้นปีคือวันที่ 31 ธันวาคม

6.ถ้าใช้ประพจน์ P แทนสุนัข 4 ขา และใช้ประพจน์ Q แทนนกเป็นสัตว์ปีก การเขียนสัญลักษณ์แทนว่า “สุนัขมี 4 ขา และนกเป็นสัตว์ปีก” สามารถเขียนได้ดังข้อใด

ก.      P ⋀ Q

ข.      P ⋁ Q

ค.      P → Q

ง.       P ↔ Q

7.ถ้าใช้ประพจน์ P แทนสุนัข 4 ขา และใช้ประพจน์ Q แทนนกเป็นสัตว์ปีก การเขียนสัญลักษณ์แทนว่า “สุนัขมี 4 ขา แล้วนกเป็นสัตว์ปีก” สามารถเขียนได้ดังข้อใด

ก.      P ⋀ Q

ข.      P ⋁ Q

ค.      P → Q

ง.       P ↔ Q

8.ถ้าใช้ประพจน์ P แทนสุนัข 4 ขา และใช้ประพจน์ Q แทนนกเป็นสัตว์ปีก การเขียนสัญลักษณ์แทนว่า “สุนัขมี 4 ขา ก็ต่อเมื่อนกเป็นสัตว์ปีก” สามารถเขียนได้ดังข้อใด

ก.      P  ⋀ Q

ข.      P ⋁ Q

ค.      P → Q

ง.       P  ↔  Q

9.ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ในข้อใดที่ใช้กับประพจน์เพียงประพจน์เดียว

ก.      และ

ข.      หรือ

ค.      ก็ต่อเมื่อ

ง.       ไม่

10.ประพจน์เชิงประกอบที่ประกอบด้วยประพจน์เดี่ยวจำนวน 3 ประพจน์ ค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้จะมีค่าเท่ากับข้อใด

ก.      3

ข.      4

ค.      6

ง.       8

 

เฉลย

  1. ค.
  2. ข.
  3. ข.
  4. ค.
  5. ข.
  6. ก.
  7.   ค.
  8. ง.
  9. ง.
  10. ง.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s